经典证明:任意三角形都能被分成n≥4个等腰三角形

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    证明:对于任意一个三角形和任意一个大于等于 4 的正整数 n ,都存在一种把这个三角形分割成 n 个等腰三角形的方案。这个问题曾经出现在 1976 年的 Crux Mathematicorum 上。 1977 年, Gali Salvatore 给出了一个非常漂亮的解答。

 
    首先,让我们来看一看如何把任意一个三角形分成 4 个等腰三角形。如图,作出三角形的高,把整个三角形分成两个小直角三角形。对于每一个直角三角形,作出斜边上的中线后都将会把它分成两个小等腰三角形。于是,我们就把整个三角形分成了 4 个小等腰三角形。

      

    我们借此还能实现,把任意一个三角形分成 7 个等腰三角形:只需要先把它分成 4 个等腰三角形,然后再次套用上述方法,把其中一个小等腰三角形继续细分成 4 个更小的等腰三角形即可。事实上,我们还可以继续这样做下去,从而让等腰三角形的数目 3 个 3 个地增加。因此, n = 4, 7, 10, 13, … 的情况便全部解决了。

    由于我们可以让任意分割方案中的等腰三角形数目加 3 ,因而如果 n = 5 和 n = 6 的情况也解决了, n = 5, 8, 11, 14, … 和 n = 6, 9, 12, 15, … 的情况也都自动地解决了,结论也就证到了。所以,接下来我们只需要考虑 n = 5 和 n = 6 的情况。

    n = 6 的情况非常简单,如图,只需要把三角形分成两个直角三角形,再把其中一个直角三角形继续细分成两个更小的直角三角形,最后作出三个直角三角形各自斜边上的中线即可:

      

    n = 5 的情况呢?我们有一个妙招:先在三角形里边分出一个等腰三角形来,然后把剩下的那个三角形分成四个小等腰三角形:

      

    但是,上面这招有一个缺陷:它不能用于等边三角形。为了从原三角形中分出一个等腰三角形来,我们需要在某条边上截取一段,使得它等于另外一条边的长度。但是,如果三角形的三条边全都一样长,这一点就做不到了。因此,我们必须单独为等边三角形想一种把它分成 5 个等腰三角形的方案。好在这并不困难,我们有很多种办法,比方说,像下图这样:

      

    Which Way Did the Bicycle Go 一书中给出了更多不同的把等边三角形分成 5 个等腰三角形的方案:

      

    至此为止,问题就全部解决了。

 
参考资料:Ross Honsberger, From Erdos to Kiev: Problems of Olympiad Caliber, pp. 13-17